Алгебра Логики

 Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
    В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:
    А = «Два умножить на два равно четырем».
    В = «Два умножить на два равно пяти».

    Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).
 
    В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

    В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Логическое умножение.

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

    Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

    Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:
    (1)  «2 * 2 = 5 и 3 * 3 = 10»,
    (2)  «2 * 2 = 5 и 3 * 3 = 9»,
    (3)  «2 * 2 = 4 и 3 * 3 = 10»,
    (4)  «2 * 2 = 4 и 3 * 3 = 9».

    Перейдем теперь от записи высказываний на естественном языке к их записи на формальном языке алгебры высказываний (алгебры логики). В ней операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком "&" либо «^». Образуем составное высказывание Р, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:
    Р = А & В.

    С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные Аи В, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).
    Сама функция логического умножения Р также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (табл.).

    По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2 * 2 = 4 и 3 * 3 = 10». Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В= 0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение ложь (Р = 0), то есть данное составное высказывание ложно.

Логическое сложение.

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
 
    Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

    Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического сложения, ложно только первое, так как в последних трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний истинно:

   (1)   "2-2 = 5 или 3-3 = 10",
   (2)  "2-2 = 5 или 3-3 = 9",
   (3)  " 2-2 = 4 или 3-3 = 10",
   (4)  "2-2 = 4 или 3-3 = 9".

    Запишем теперь операцию логического сложения на формальном языке алгебры логики. Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «V», либо знаком сложения «+». Образуем составное высказывание Р,  которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний:
      Р = А ^ В.
    С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического сложения, аргументами которой являются логические переменные А и В. Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического сложения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2 * 2 = 4 или 3 * 3 = 10». Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение истина (Р = 1), то есть данное составное высказывание истинно.

Логическое отрицание.

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным.

    Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» — истинное высказывание, тогда высказывание Р = «Два умножить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания,   — ложно.

    Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим  высказыванием А в алгебре логики принято обозначать А. Образуем высказывание Р,  являющееся логическим отрицанием А:
    Р = А.

    Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания.

 
    Истинность высказывания, образованного с помощью операции логического отрицания, можно легко определить с помощью таблицы истинности. Например, высказывание «Два умножить на два не равно четырем» ложно (А = 0), а полученное из него в результате логического отрицания высказывание «Два умножить на два равно четырем» истинно (Р = 1).